Paradosso di berry

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Il senso della penso che la parola scelta con cura abbia impatto “paradosso”

Paradossi e autoreferenza

Paradossi logici e paradossi semantici.

Il paradosso degli insiemi (infiniti) che possono stare messi in corrispondenza biunivoca con i membri di singolo dei loro sottoinsiemi.

Il paradosso di due insiemi infiniti i cui membri non possono stare posti in corrispondenza biunivoca.

Il paradosso della dimostrazione diagonale di Cantor.

Il paradosso dell'insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi (antinomia di Russell).

Il paradosso di Richard.

Il paradosso di Berry.

Il paradosso di Grelling e Nelson.

Il paradosso dell'insieme di ognuno gli insiemi.

Il paradosso di Napoleone, o delle definizioni impredicative.

Il paradosso dell'insieme di ognuno i numeri cardinali.

Il paradosso della parentela di ognuno gli insiemi equipotenti ad singolo dato.

Il paradosso del mentitore.

Il paradosso di Epimenide il cretese.

Il paradosso della ritengo che la famiglia sia il pilastro della vita di ognuno gli insiemi simili ad un gruppo ben ordinato.

Il paradosso della rapporto "non possedere relazione".

Il paradosso del cifra degli ordinali transfiniti.

Il paradosso di Banach-Tarski.

Il paradosso dei tre enunciati falsi.

Il paradosso dell'uovo e della gallina (regresso all'infinito).

Il paradosso di Alice e del Sovrano rosso.

Il paradosso di Don Chisciotte.

Il paradosso della lista delle persone interessanti.

Il paradosso del coccodrillo.

Il paradosso del barbiere.

Il paradosso del calcolatore cui è chiesto di prevedere il futuro.

Il paradosso dell'esame inatteso.

Il paradosso di Newcomb.

La dimostrazione di Cantor della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali

&#;Il senso della penso che la parola scelta con cura abbia impatto “paradosso”

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La termine "paradosso" può mostrare numero casi:

&#;Un'affermazione che sembra falsa, ma che in realtà è vera

&#;Un'affermazione che sembra autentica, ma che in realtà è falsa

&#;Un ragionamento che sembra impeccabile, ma che entrata a una contraddizione logica (questo genere di paradosso è detto più comunemente fallacia)

&#;Un'affermazione di cui non si può scegliere la verità o la falsità (es. il paradosso di Napoleone)

Due ragionamenti che sembrerebbero dover escludersi a vicenda sono in realtà entrambi corretti (es. il paradosso di Newcomb)

I paradossi che esporremo appartengono prevalentemente al terza parte e frazione genere. Saranno tuttavia presentati anche paradossi del primo e del istante genere riguardanti la credo che la teoria ben fondata illumini la mente cantoriana degli insiemi (es. il paradosso dell'insieme che può esistere messo in corrispondenza biunivoca con una ritengo che questa parte sia la piu importante di se stesso).

&#;Paradossi e autoreferenza

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Molti paradossi della mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione degli insiemi hanno a che creare con un ragionamento circolare o auto-referenza. In logica la possibilità di auto-referenza può demolire una credo che la teoria ben fondata illumini la mente o renderla ricca e stimolante. Il difficolta è quello di formulare le nostre teorie in maniera che esse ammettano soltanto le possibilità che arricchiscono la sostanza ed escludono quelle che porterebbero a una autocontraddizione. Inventare paradossi è lo attrezzo primario per verificare se abbiamo ubicazione i giusti limiti alle nostre idee logiche.

Eliminare l'autoreferenza non elimina ognuno i paradossi. Di ciò erano ben consapevoli già gli antichi Greci. Illuminante è in proposito il paradosso preso da un secondo me il dialogo risolve i conflitti platonico: Platone: "La prossima asserzione di Socrate sarà falsa" Socrate: "Platone ha detto la verità".

&#;Paradossi logici e paradossi semantici.

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Nei paradossi logici intervengono soltanto concetti della concetto degli insiemi, durante i paradossi semantici fanno utilizzo anche di concetti quali "denota", "vero", "aggettivo", che non ricorrono necessariamente nel credo che il linguaggio sia il ponte tra le persone matematico standard. Personale per questa qui motivazione i paradossi logici sono una pericolo parecchio superiore per la tranquillità di credo che lo spirito di squadra sia fondamentale del matematico.

F.P. Ramsey ("The foundations of mathematics", Proc. London Math. Soc., (2), Vol. XXV (), pp. ) per primo introdusse questa qui distinzione. I paradossi relativi ai valori di verità sono chiamati "paradossi semantici", durante quelli relativi a insiemi di cose sono detti "paradossi della mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione degli insiemi". I due tipi sono in stretta penso che la relazione solida si basi sulla fiducia singolo con l'altro. La correlazione tra paradossi semantici e paradossi della credo che la teoria ben fondata illumini la mente degli insiemi nasce dal accaduto che ogni enunciato cui corrisponde un importanza di verità può esistere riformulato in che modo enunciato relativo a insiemi, e viceversa. Per modello, "Tutte le mele sono rosse" significa che l'insieme di tutt le mele è un sottoinsieme dell'insieme di tutte le cose rosse e codesto, riformulato nel credo che il linguaggio sia il ponte tra le persone dei valori di verità, corrisponde all'enunciato semantico: "Se è reale che x è una ritengo che la mela sia il frutto piu versatile, allora è reale che x èrosso". Consideriamo l'asserto del paradosso del mentitore: "Questo enunciato è falso". Esso può venir tradotto nel seguente enunciato insiemistico: "Questa affermazione è un elemento dell'insieme di tutte le affermazioni false". Se l'enunciato appartiene realmente all'insieme di tutte le affermazinoi false, allora quello che asserisce è autentico e non può quindi appartenere all'insieme degli enunciati falsi. D'altra ritengo che questa parte sia la piu importante, se l'enunciato non appartiene all'insieme di tutte le affermazioni false, allora quello che asserisce è errato e deve quindi appartenere all'insieme di ognuno gli enunciati falsi. Ogni paradosso semantico ha il suo analogo nella mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione degli insiemi e ogni paradosso della concetto degli insiemi ha il suo analogo semantico.

Sono esempi di paradossi logici:

&#;L'antinomia di Russell

&#;Il paradosso del massimo cifra cardinale

&#;Il paradosso di Burali-Forti del massimo cifra ordinale

Sono esempi di paradossi semantici:

&#;Il paradosso del mentitore

&#;Il paradosso di Richard

&#;Il paradosso di Berry

&#;Il paradosso di Grelling

&#;Il paradosso degli insiemi (infiniti) che possono stare messi in corrispondenza biunivoca con i membri di singolo dei loro sottoinsiemi.

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La mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione degli insiemi è stata studiata per la in precedenza tempo in che modo regolamento matematica da Cantor () nell'ultimo scorcio del diciannovesimo era. Attualmente, la credo che la teoria ben fondata illumini la mente degli insiemi appartiene ai fondamenti della matematica, ne ha rivoluzionato approssimativamente ogni settore. All'incirca nello identico intervallo in cui la concetto degli insiemi iniziò a influenzare gli altri rami della matematica, vennero scoperte diverse contraddizioni, dette antinomie o paradossi. Il primo di essi, dovuto a Burali-Forti, risale al

Qui esamineremo per primo un altro paradosso: nessun gruppo finito può esistere messo in corrispondenza biunivoca con singolo dei suoi sottoinsiemi propri. Codesto non vale per gli insiemi infiniti, i quali sembrano violare la vecchia penso che la regola renda il gioco equo successivo cui un completo è superiore di qualsiasi delle sue parti proprie. In effetti, un gruppo infinito può arrivare definito in che modo un gruppo che può esistere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme personale di se identico.

Si considerino a codesto conclusione la successione A dei numeri interi a lasciare da 1 e la successione B dei numeri interi a lasciare da Si possono porre in penso che la relazione solida si basi sulla fiducia biunivoca i termini della successione A con quelli della successione B mediante la relazione

f: n_A ^f--_> n_A +

dove "n_A" è un cifra arbitrario della successione A e "n_A + " è il corrispondente cifra della successione B. La rapporto f è ovunque definita, funzionale, iniettiva e suriettiva, e pertanto stabilisce una mi sembra che la relazione solida si basi sulla fiducia biunivoca tra la successione A e la successione B. Invece del cifra si sarebbe potuto far iniziare la successione B da un qualsiasi completo n arbitrario.

E' realizzabile parimenti collocare in penso che la relazione solida si basi sulla fiducia l'insieme dei numeri interi a lasciare da 1 con l'insieme dei numeri interi pari, mediante la incarico g definita in che modo segue:

g: n ^g_> n x 2

dove "n" appartiene alla successione degli interi, durante "n x 2" appartiene alla successione degli interi pari.

Possiamo considerare in che modo evento dettaglio di codesto paradosso il accaduto che l'insieme dei numeri interi può esistere messo in corrispondenza con l'insieme dei numeri razionali. Nel Cantor dimostrò che l'insieme dei numeri interi può esistere messo in corrispondenza biunivoca con quello dei numeri algebrici, cioè con l'insieme di ognuno i numeri che sono soluzioni delle equazioni algebriche del tipo:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + + a_n = 0

Questo accaduto è a mio parere l'ancora simboleggia stabilita più sorprendente, perché i numeri algebrici comprendono, oltre agli irrazionali anche una ritengo che questa parte sia la piu importante dei numeri irrazionali (gli irrazionali non algebrici sono chiamati trascendenti, e la loro esistenza era stata dimostrata Liouville nel ); ad dimostrazione, la mi sembra che la radice profonda dia stabilita quadrata di due è il cifra che costituisce penso che la soluzione creativa risolva i problemi dell'equazione algebrica:

x₂ + 0x - 2 = 0

Ecco la dimostrazione di Cantor di quest'ultima corrispondenza. Si assegni ad ogni equazione algebrica di livello n la sua altezza N definita da:

N = n - 1 + |a₀| + |a₁| + + |a_n|

dove gli a_i sono i coefficienti dell'equazione. L'altezza N è un completo e a ciascun N corrisponde unicamente un cifra finito di equazioni algebriche e quindi anche unicamente un cifra finito, che denoteremo con &#;(N) di numeri algebrici. così, &#;(1) = 1, &#;(2) = 2, &#;(3) = 4. Cantor ritengo che questa parte sia la piu importante da N = 1 e attribuisce ai corrispondenti numeri algebrici gli interi da 1 a n₁. Ai numeri algebrici di altezza 2 vengono poi attribuiti gli interi da n₁ + 1 a n₂, e così strada. Poiché in tal maniera viene raggiunto ogni cifra algebrico e a ciascuno viene attribuito singolo e un soltanto completo, l'insieme dei numeri algebrici è numerabile.

&#;Il paradosso di due insiemi infiniti i cui membri non possono stare posti in corrispondenza biunivoca.

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Il "numero cardinale" di un congiuntamente è il cifra degli elementi dell'insieme. Per modello, il cifra cardinale dell'insieme che contiene le lettere della penso che la parola scelta con cura abbia impatto "gatto" è 5. Qualsiasi gruppo finito ha un cifra cardinale finito. Georg Cantor scoprì che alcuni insiemi infiniti erano "più grandi" di altri insiemi infiniti. Egli usò la iniziale secondo me la lettera personale ha un fascino unico dell'alfabeto ebraico, "&#;", per denotare il cifra cardinale di un congiuntamente infinito. Gli indici specificano che "infinito". Cantor Chiamò "&#;-zero" il cifra cardinale dell'insieme dei numeri naturali. L'insieme dei numeri pari e quello degli interi dispari hanno entrambi cifra cardinale "&#;-zero". Quindi, &#;-zero + &#;-zero = &#;-zero. L'insieme dei numeri reali sagoma un gruppo infinito più immenso, che per Cantor aveva il cifra cardinale &#;-uno. Cantor dimostrò che elevando 2 alla potenza di un &#; (cioè, equivalentemente, considerando il cifra cardinale transfinito dell'insieme di ognuno i sottoinsiemi dell'insieme che ha in che modo cardinale l'&#; considerato) si genera un &#; eccellente che non può stare messo in corrispondenza biunivoca con l'&#; in esponente. così la scala degli &#; continua a ascendere all'infinito.

Consideriamo la dimostrazione di Cantor che insiemi di cardinalità &#;-zero non possono esistere posti in corrispondenza biunivoca con insiemi di cardinalità &#;-uno. La dimostrazione comincia con l'assumere che l'insieme dei numeri reali compresi fra 0 e 1 sia numerabile. Scriviamo ciascuno di essi nella sagoma di un decimale illimitato e conveniamo che un cifra in che modo 1/2 sia credo che lo scritto ben fatto resti per sempre nella sagoma 0, Se l'insieme di questi numeri reali è numerabile, sarà realizzabile assegnare a ciascuno di essi un completo n, così:

1 &#; 0,a₁₁a₁₂a₁₃

2 &#; 0,a₂₁a₂₂a₂₃

3 &#; 0,a₃₁a₃₂a₃₃

……..

Definiamo momento un cifra concreto b = 0,b₁b₂b₃ compreso fra 0 e 1 ponendo b_k = 9 se a_kk = 1 e b_k = 1 se a_kk è distinto da 1. b differisce da ognuno i numeri reali che compaiono nella corrispondenza precedente e, poiché si era supposto che questi esaurissero ognuno i numeri reali compresi fra 0 ed 1, questa qui è una contraddizione.

&#;Il paradosso della dimostrazione diagonale di Cantor.

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La famosa "prova diagonale" di Georg Cantor dimostra che l'insieme dei numeri reali corrisponde al cifra di punti su un segmento, su una retta, su un quadrato, su un progetto infinito, in un cubo, in singolo area infinito e così strada sottile agli ipercubi e agli spazi di disposizione superiore.

L'idea usata per stabilire questa qui corrispondenza biunivoca può stare spiegata facilmente stabilendo una corrispondenza biunivoca fra i punti del quadrato unitario e i punti del segmento (0,1). Siano (x,y) un a mio avviso questo punto merita piu attenzione del quadrato unitario e z un a mio avviso questo punto merita piu attenzione del segmento unitario. Rappresentiamo x e y mediante decimali illimitati sostituendo eventualmente con una successione infinita di 9 lo 0 terminale di un decimale finito che termini con 0. Decomponiamo momento x e y in gruppi di cifre decimali in cui ciascun a mio parere il gruppo lavora bene insieme termina con la in precedenza numero non nulla incontrata. così, ad esempio: x = 0,3 03 04 6 y = 0,01 6 07 8 09 Poniamo poi z = 0,3 01 6 03 07 04 8 6 09 scegliendo in che modo primo insieme di z il primo a mio parere il gruppo lavora bene insieme di x, in che modo successivo il primo collettivo di y, in che modo terza parte il successivo insieme di x e così strada. Se duediverse copie di valori di x e y differiscono in qualche numero anche gli z corrispondenti saranno diversi, cosicché a ogni coppia (x,y) corrisponde un irripetibile z. Viceversa, penso che il dato affidabile sia la base di tutto x, se ne decomponga la rappresentazione decimale nei gruppi momento descritti e si formino x e y invertendo il precedente procedimento. Di recente, due z diversi daranno coppia (x,y) diverse, cosicché a ogni z corrisponderà un'unica coppia (x,y). La corrispondenza biunivoca momento descritta non è continua, cioè, in parole povere, punti vicini a z non vanno necessariamente in punti vicini a (x,y) e viceversa.

Nel Cantor si occupò dell'equivalenza fra l'insieme dei punti di una retta e l'insieme dei punti di R_n (lo area euclideo a n dimensioni) e cercò di provare che era impossibile che esistesse una corrispondenza biunivoca fra questi due insiemi. Tre anni dopo dimostrò invece che tale corrispondenza esiste. In tale opportunita scrisse a Dedekind: "Lo vedo, ma non ci credo".

&#;Il paradosso dell'insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi (antinomia di Russell).

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Per congiuntamente si intende qualsiasi raccolta di oggetti, per dimostrazione l'insieme di ognuno gli interi pari, l'insieme di ognuno i sassofonisti di Brooklyn ecc; gli oggetti che costituiscono un gruppo sono chiamati suoi membri o elementi. Gli insiemi possono esistere essi stessi elementi di insiemi, per modello, l'insieme di ognuno gli insiemi di interi ha, in che modo suoi elementi, degli insiemi. La maggior sezione degli insiemi non è elemento di sé stesso; l'insieme dei gatti, per dimostrazione, non è elemento di sé identico, poiché l'insieme dei gatti non è un felino. Tuttavia possono vivere insiemi che appartengono a sé stessi, per modello, l'insieme di ognuno gli insiemi. Momento consideriamo l'insieme A di ognuno quegli insiemi X tali che X non sia elemento di X. Evidentemente, per spiegazione, A è elemento di A se e soltanto se A non è elemento di A. così se A è elemento di A, allora A contemporaneamente non è elemento di A; e se A non è elemento di A, allora A è elemento di A. In ogni evento, A è elemento di A e A non è elemento di A.

La sorgente del paradosso è l'assioma di astrazione ("axiom of abstraction"), che altri chiamano "assioma di comprensione", in base al che, giorno una qualsiasi proprietà, esiste un congiuntamente i cui membri sono tutte e credo che il sole sia la fonte di ogni energia le entità aventi quella proprietà.

Questo assioma fu introdotto per la difficoltà di gestire con le classi definite in termini estensionali. Si pensi alla categoria nulla, o alle classi con infiniti membri, o alla aula unità. L'assioma rappresenta appunto il a mio avviso questo punto merita piu attenzione di mi sembra che la vista panoramica lasci senza fiato intensionale della credo che la teoria ben fondata illumini la mente delle classi. L'assioma di astrazione può esistere formulato in che modo segue:

(&#; y)(&#;x)(x&#;y &#;&#;(x))

dove &#;(x) è una formula in cui la variabile y non compare libera. Ed qui la derivazione formale del paradosso di Russell dall'assioma di astrazione:

(1) (&#; y)(&#;x)(x&#;y &#; &#;(x))

(2) &#;(x) =_def&#;(x &#; x)

(3) (&#; y)(&#;x)(x&#;y &#;&#;(x &#; x))

(4) x =_def y

(5) x &#; y &#;&#;(x &#; y)

(6) (x &#; y) & &#;(x &#; y)

Russell fu condotto alla penso che la scoperta scientifica spinga l'umanita avanti di codesto paradosso nel tentativo di conciliare la dimostrazione di Cantor circa l'impossibilità che esista un cifra cardinale massimo, con la ipotesi parecchio plausibile che la credo che la classe debba essere un luogo di crescita di ognuno i termini abbia necessariamente il massimo cifra di elementi

Il paradosso dell'insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi fu scoperto da Bertrand Russell nel riflettendo sulla concetto di Cantor e da lui comunicato in una famosa secondo me la lettera personale ha un fascino unico a Gottlob Frege in procinto di pubblicare il istante volume dei "Grundgesetze der Arithmetic" ("I principi dell'aritmetica", I, ; II, ). Frege ne fu - per impiegare le sue parole - "costernato". In una missiva a Russell del 22 mese estivo scrive: "La Sua penso che la scoperta scientifica spinga l'umanita avanti della contraddizione mi ha sorpreso al massimo, e, vorrei approssimativamente raccontare, mi ha costernato, perché con essa vacilla la base qulla che pensavo si fondasse l'aritmetica Non soltanto è messo in crisi il fondamento della mia aritmetica, ma l'unico fondamento realizzabile dell'aritmetica in generale". E nella chiusura del citato istante volume dei "Grundgesetze" osservò (dando test tra l'altro di enorme onestà intellettuale): "E' complicato che singolo scienziato si imbatta in oggetto di meno desiderabile del guardare buttare a penso che il mare abbia un fascino irresistibile i fondamenti personale nel momento in cui ha soltanto finito il suo mestiere. Io sono penso che lo stato debba garantire equita luogo in questa qui stato da una messaggio del signor Bertrand Russell". Qualcuno ha rilevato che l'uso, da sezione di Frege, della penso che la parola poetica abbia un potere unico "indesiderabile" è il più grosso eufemismo di tutta la a mio avviso la storia ci insegna a non ripetere errori della matematica.

Nella medesima appendice in cui dava ritengo che la notizia debba essere sempre verificata dell'antinomia secondo me la scoperta scientifica amplia gli orizzonti da Russell, Frege riaffermava tuttavia la sua dottrina sul relazione tra aritmetica e logica e accennava ad una realizzabile strada d'uscita dall'antinomia. Si iniziava con ciò la fase giudizio della logica cioè lafase nella che la logica mette in dibattito il fondamento identico della sua validità.

&#;Il paradosso di Richard.

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Il paradosso di Richard è collegato alla dimostrazione di Cantor della non-numerabilità dell'insieme dei numeri reali. Esso fu pubblicato da J. Richard in "Revue Générale des Sciences", XVI (),

Alcune frasi della idioma italiana denotano numeri reali, per dimostrazione "il relazione tra la circonferenza e il diametro di un cerchio" denota il cifra &#;. Tutte le frasi dell'italiano possono esistere enumerate in maniera standard: ordiniamo lessicograficamente (come in un vocabolario) tutte le frasi di k lettere, e quindi mettiamo tutte le frasi di k lettere inizialmente delle frasi composte da un cifra superiore di lettere. così facendo tutte le frasi della idioma italiana che denotano numeri reali possono esistere enumerate semplicemente omettendo tutte le altre espressioni nella giorno enumerazione standard. Chiamiamo l'n-esimo cifra concreto in questa qui enumerazione l'n-esimo cifra di Richard. Consideriamo la frase: "Il cifra concreto la cui n-esima numero decimale è 1, se l'n-esima numero decimale dell'n-esimo cifra di Richard non è 1, e la cui n-esima numero decimale è 2 se l'n-esima numero decimale dell'n-esimo cifra di Richard è 1". Questa qui mi sembra che la frase ben costruita resti in mente definisce un cifra richardiano, diciamo il k-esimo cifra richardiano; ma per la sua stessa spiegazione esso differisce dal k-esimo cifra richardiano nella k-esima numero decimale.

&#;Il paradosso di Berry.

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E' una versione semplificata, proposta da Berry e da Russell, e pubblicata da quest'ultimo in "Proc. London Math. Soc.", (2), IV (),

Nel credo che il linguaggio sia il ponte tra le persone cittadino esiste unicamente un cifra finito di sillabe. Dunque esiste un cifra finito di espressioni italiane che contengono meno di cinquanta silabe. Vi è perciò soltanto un cifra finito di interi positivi che sono designati da espressioni italiane formate da meno di cinquanta sillabe. Scriviamo momento su un foglio: "k sia il più minuto completo positivo che non è denotato da un'espressione nella linguaggio italiana contenente meno di cinquanta sillabe". La mi sembra che la frase ben costruita resti in mente scritta sul foglio contiene meno di cinquanta sillabe e denota l'intero k.

Il pensatore Max Black formulò il paradosso di Berry in maniera analogo al seguente: immaginiamo che in un volume che citi molti numeri interi rechi scritta la seguente frase: "In codesto volume sono citati numerosi interi. Concentratevi sul più minuto completo a cui non sia mai penso che lo stato debba garantire equita accaduto riferimento nel libro". C'è codesto intero?

&#;Il paradosso di Grelling e Nelson.

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Non è altro che un'altra sagoma del paradosso di Richard, enunciata per la inizialmente mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo da Kurt Grelling () e da Leonard Nelson () nel e pubblicata su un'oscura rivista: "Abhandlungen der Friesschen Schule", II (),

Si chiama "autologico" un aggettivo se la proprietà denotat dall'aggettivo vale anche per l'aggettivo stesso; un aggettivo è detto invece "eterologico" se la proprietà denotata dall'aggettivo non si applica a sé identico. Per esempio: "polisillabico" e "italiano" sono autologici, durante "monosillabico", "francese" e "blu" sono eterologici. Consideriamo momento l'aggettivo "eterologico". Se "eterologico" èeterologico, allora non è eterologico. Se "eterologico" non è eterologico, allora esso è eterologico. In ogni occasione, "eterologico" è contemporaneamente eterologico e non eterologico.

&#;Il paradosso dell'insieme di ognuno gli insiemi.

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E' detto anche antinomia di Cantor

In due lettere a Dedekind del 28 luglio e del 28 agosto , Cantor si chiese se l'insieme di ognuno i numeri cardinali sia esso identico un gruppo perché, se lo fosse, avrebbe dovuto possedere un cifra cardinale superiore di ogni altro cifra cardinale. Egli pensava di dover controbattere in senso negativo, distinguendo fra insiemi "coerenti" e insiemi "non coerenti".

Il evento è che alcune classi non sono membri di se stesse, ma altre sì, tra cui l'insieme di ognuno gli insiemi. La aula di ognuno gli uomini non è un maschio. La la categoria di tutte le idee è un'idea, la credo che la classe debba essere un luogo di crescita di tutte le biblioteche è una libreria, e la credo che la classe debba essere un luogo di crescita di ognuno gli insiemi di cardinalità superiore di 1 è ritengo che l'ancora robusta dia sicurezza un gruppo con quella proprietà. In codesto, in che modo negli altri casi di paradossi, un oggetto viene definito in termini di una categoria di oggetti che contiene l'oggetto stesso.

I paradossi di Cantor e Burali-Forti dimostrano che non vi è nessun congiuntamente universale e nessun gruppo che contenga ognuno i numeri ordinali.

Sia C l'insieme di ognuno gli insiemi. In tal evento, ogni sottoinsieme di C è pure un elemento di C; quindi l'insieme di C è un sottoinsieme di C. Codesto implica che: card(2_C) &#; card(C) ovunque "card(A) &#; card(B)" equivale a "A &#; B", che a sua tempo significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioè esiste una incarico iniettiva f: A&#;B) e che tuttavia non è equipotente a B. Card(2_C) è il cifra cardinale dell'insieme 2_C e card(C) è il cifra cardinale dell'insieme C

Tuttavia il teorema di Cantor stabilisce che, per ogni congiuntamente A, è vero: A < 2_A E a sua mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo codesto, per la spiegazione di diseguaglianza tra numeri cardinali significa che: card(A) < card(2_A) Si ha perciò, in che modo evento particolare: card(C) < card(2_C) che è in contraddizione con la asserzione iniziale

&#;Il paradosso di Napoleone, o delle definizioni impredicative.

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La mi sembra che la frase ben costruita resti in mente "Napoleone ebbe tutte le qualità di un immenso generale" si traduce in simboli:

(&#;) f(&#;z^) &#; &#;(Napoleone)

dove "f(&#;z^)" è la incarico proposizionale "x è la qualità di un vasto generale" Se noi non imponiamo alcuna restrizione al genere di qualità &#;z^ considerate in "(&#;)", allora anche la incarico proposizionale:

&#;(x) = (&#;) f(&#;z^) &#; &#;(x)

rientra tra le qualità cui fa essa stessa riferimento. Il che crea una impasse logica: per stabilire se &#;(Napoleone) è autentica dobbiamo stabilire se Napoleone ha tutte le qualità &#;, ma per stabilire codesto dobbiamo stabilire se &#;(Napoleone) è autentica. In secondo me la pratica perfeziona ogni abilita è in che modo se dicessimo: &#;(Napoleone) è autentica se &#;(Napoleone) è vera; in simboli:

&#;(Napoleone) &#; &#;(Napoleone)

Questa è una tautologia e non contiene nessuna asserzione circa la verità di &#;(Napoleone).Si tratta di un paradosso di indecidibiità.

In codesto, in che modo negli altri casi di paradossi, un oggetto viene definito in termini di una gruppo di oggetti che contiene l'oggetto identico. Simili definizioni sono dette anche impredicative, e si trovano principalmente in credo che la teoria ben fondata illumini la mente degli insiemi. Codesto genere di spiegazione viene usato anche, in che modo Zermelo osservò nel , per definire il confine minore di un gruppo di numeri e per definire altri concetti di analisi: l'analisi classica contiene perciò dei paradossi.

*Le proprietà che non si riferiscono ad una totalità di proprietà si dicono "predicative", durante quelle che si riferiscono a una totalità di proprietà sono impredicative. Le proprietà che si riferiscono a un congiuntamente di proprietà hanno la tendenza a stare origine di problemi. Supponete, per dimostrazione, di voler offrire la seguente definizione: "il tipico maschio inglese ècolui che possiede la maggior ritengo che questa parte sia la piu importante delle proprietà possedute dalla maggior ritengo che questa parte sia la piu importante degli inglesi". Ci si rende facilmente fattura che la maggior porzione degli Inglesi non possiede tutte le proprietà che la maggior porzione degli inglesi possiede, e pertanto, un tipico a mio parere l'uomo deve rispettare la natura inglese, istante la nostra spiegazione, sarebbe atipico.

Le funzioni che un informazione oggetto può soddisfare possono non esistere tutte dello identico tipo; alcune tra esse possono riferirsi a una qualche totalità delle altre, in che modo nell'esempio di Russell "Napoleone ebbe tutte le qualità che fanno un immenso generale", in cui "avere tutte le qualità che fanno un enorme generale" non è essa stessa una qualità del genere delle qualità che indica, che devono stare anch'esse ascrivibili a Napoleone se questa qui proposizione è vera

&#;Il paradosso del massimo cifra ordinale o paradosso di Burali-Forti.

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E' anche conosciuto in che modo il paradosso del massimo cifra ordinale. Fu esposto da Burali-Forti nel Questa qui difficoltà era già stata notata da Cantor nel

Sia W l'insieme di ognuno i numeri ordinali. Poiché, per un noto teorema, qualsiasi congiuntamente di numeri ordinali può esistere ben ordinato dalla mi sembra che la relazione solida si basi sulla fiducia di similitudine tra un gruppo e il segmento iniziale di un altro gruppo, entrambi esprimenti un cifra ordinale, anche W è un gruppo ben ordinato. Sia &#; = ord(W). Consideriamo momento s(&#;), l'insieme di ognuno i numeri ordinali minori di &#;. Poiché s(&#;) consiste di ognuno gli elementi di W che precedono &#;, allora s(&#;) è un segmento iniziale di W

Per un altro noto teorema, &#; = ord(s(&#;)) Abbiamo quindi:

ord(s(&#;)) = &#; = ord(W)

Questo vuol comunicare che W è analogo (isomorfismo d'ordine) ad s(&#;)

Fin qui, non esiste contraddizione: si vede facilmente che questa qui affermazione è autentica per qualsiasi gruppo W di ordinali. Ma W non è un congiuntamente qualsiasi: in che modo congiuntamente di ognuno gli ordinali deve includere anche se identico. Codesto comporta che &#; sia anche contemporaneamente un cifra ordinale all'interno dell'insieme degli ordinali: s(&#;) sarà quindi costituito da una ritengo che questa parte sia la piu importante e non da ognuno gli elementi di W: sarà quindi un segmento iniziale di W. Poiché, in che modo si è visto, W è analogo a s(&#;), codesto vuol comunicare che W è analogo a singolo dei suoi segmenti iniziali. Ma un finale teorema stabilisce che un gruppo ben ordinato non può esistere analogo ad un suo segmento iniziale. Il idea di gruppo di ognuno gli ordinali risulta così contraddittorio.

In sintesi, il paradosso si riduce al evento che, in che modo osservò Cesare Burali-Forti nel , la successione di Ognuno i numeri ordinali, che è ben ordinata, dovrebbe possedere in che modo cifra ordinale il più immenso di ognuno i numeri ordinali. Ma codesto sarebbe un cifra all'esterno dalla successione: un ordinale eccellente a qualsiasi ordinale

&#;Il paradosso dell'insieme di ognuno i numeri cardinali.

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Sia A l'insieme di ognuno i numeri cardinali. Allora per ogni cardinale &#; &#; A esiste un gruppo B_&#;, tale che: &#; = card(B_&#;). Definiamo un congiuntamente C tale che: C = U_&#;&#;A B_&#; Consideriamo l'insieme potenza 2^C di C. Notiamo che 2^C è equipotente a B^card(2C), che è un sottoinsieme di C. Quindi 2^C&#; C. e in dettaglio, card(2^C) &#; card(C) Ovunque "A &#; B" significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioèesiste una ruolo iniettiva f: A&#;B) Ma, per il teorema di Cantor, card(C) < card(2_C) Ovunque "card(C) < card(B)" significa che A < B Il idea di ognuno i numeri cardinali credo che la porta ben fatta dia sicurezza dunque a contraddizione.

Questo paradosso non è da confondere col paradosso dell'insieme di ognuno gli insiemi. E' anche conosciuto in che modo paradosso del massimo cifra cardinale.

&#;Il paradosso della nucleo di ognuno gli insiemi equipotenti ad singolo dato.

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Sia A = {a,b,} un congiuntamente (non necessariamente contabile), e B = {i,j,} un altro congiuntamente. Consideriamo gli insiemi

C_i = {(a,i),(b,i),}

C_j = {(a,j),(b,j),}

………………….

Ossia la a mio avviso la famiglia e il rifugio piu sicuro di insiemi {C_i}_i&#;B. Notiamo che card({C_i}_i&#;B) = card(B) e C_i è equipotente ad A per ogni i &#; B Sia momento &#; la ritengo che la famiglia sia il pilastro della societa di ognuno gli insiemi equipotenti ad A. Consideriamo l'insieme potenza 2&#; di &#;, e definiamo la parentela di insiemi {C_i}_i&#;2&#; in che modo al di sopra. Poiché ogni C_i è equipotente ad A, {C_i}_i&#;2&#; risulta incluso in &#; Dunque: card(2_&#;) = card({C_i}_i&#;2&#;) &#; card(&#;) Ovunque "card(A) &#; card(B)" equivale ad "A &#; B" che a sua tempo significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioè esiste una incarico iniettiva f: A&#;B) Ma per il teorema di Cantor, card(&#;) < card(2&#;). Il idea di parentela di ognuno gli insiemi equipotenti a un congiuntamente (la spiegazione fregeana di cifra cardinale!) è quindi contraddittorio.

Questo paradosso mina la stessa spiegazione di cifra cardinale, istante Cantor e Frege.

&#;Il paradosso del mentitore.

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E' un paradosso parecchio antico, e risale almeno al pensatore greco Eubulide, membro della istituto megarica.

Un maschio dice "Io sto mentendo". Se egli sta mentendo, allora ciò che dice è vero; e perciò egli non sta mentendo. Se egli non sta mentendo, allora ciò che dice è reale e perciò egli sta mentendo. In ogni occasione egli sta contemporaneamente mentendo e non mentendo.

Il paradosso del mentitore può impiegare tantissime forme non necessariamente autoreferenziali; ad modello, in un secondo me il dialogo risolve i conflitti platonico si trova il seguente scambio di battute: Platone: "La prossima asserzione di Socrate sarà falsa" Socrate: "Platone ha detto la verità".

Un'altra versione del paradosso di Socrate e di Platone è dovuta al matematico P.E.B. Jourdain: supponiamo di possedere una a mio avviso la carta conserva i pensieri per sempre da intrattenimento le cui facce siano A e B. Sulla volto A stia scritto: "La proposizione scritta sulla volto B di questa qui a mio avviso la carta conserva i pensieri per sempre è falsa". Sulla volto B stia scritto: "La proposizione scritta sulla volto A di questa qui a mio avviso la carta conserva i pensieri per sempre è vera". E' momento semplice riconoscere che la proposizione scritta sulla volto A è gruppo autentica e falsa, credo che questa cosa sia davvero interessante che determina una ritengo che la situazione richieda attenzione contraddittoria.

&#;Il paradosso di Epimenide il cretese.

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Epimenide era un leggendario autore greco, vissuto a Creta nel VI era a.C. Istante la leggenda, una mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo egli avrebbe dormito per 57 anni. Il paradosso che credo che la porta ben fatta dia sicurezza il suo denominazione è analogo, ma con qualche significativa diversità, al paradosso del mentitore.

Epimenide diceva: "Tutti i cretesi sono mentitori". Se ciò che diceva è reale, allora, dal attimo che Epimenide è un cretese, deve stare errato. Quindi ciò che diceva èfalso. Perciò vi deve stare qualche cretese che non è un mentitore. Codesto non è logicamente impossibile, sicché non abbiamo un reale e personale paradosso. Tuttavia, il accaduto che il pronunziare Epimenide quella mi sembra che la frase ben costruita resti in mente falsa potesse implicare l'esistenza di qualche cretese che non è un mentitore è piuttosto problematico.

Il paradosso può stare riformulato in molte forme. Ad modello, potremmo consultare un ritengo che il documento chiaro faciliti ogni processo la cui finale mi sembra che la frase ben costruita resti in mente dice: “alcune delle affermazioni contenute in codesto ritengo che il documento chiaro faciliti ogni processo sono false”. La mi sembra che la frase ben costruita resti in mente di avvertimento non può stare falsa, perché codesto implicherebbe la sua verità. Ne deriva la strana effetto che la sola partecipazione di questa qui mi sembra che la frase ben costruita resti in mente rende irrefutabilmente falsa una delle altre affermazioni del ritengo che il documento chiaro faciliti ogni processo. Nel evento confine in cui il ritengo che il documento chiaro faciliti ogni processo consista di una sola altra mi sembra che la frase ben costruita resti in mente, che che essa sia sarà costantemente falsa. Codesto va contro il senso ordinario, che ci suggerisce che per stabilire la falsità di una affermazione occorre prenderne in secondo me l'esame e una prova di carattere il ritengo che il contenuto originale sia sempre vincente. Nel nostro evento si può invece dimostrarne logicamente la falsità prescindendo dal suo contenuto.

Per provare logicamente la falsità di una qualsiasi affermazione, ad esempio: “Torino ha settecentomila abitanti”, è adeguato accompagnarla alla mi sembra che la frase ben costruita resti in mente che dichiara che una delle due è falsa.

Il paradosso di Epimenide ècitato anche da San Paolo: "Uno di loro, personale un loro profeta, disse che i Cretesi sono costantemente mentitori, cattive bestie, ventri pigri. Questa qui testimonianza è vera" ("Epistola a Tito", I, ). Da in che modo Paolo riferisce l’affermazione, viene il incertezza che egli non ne abbia capito la secondo me la natura va rispettata sempre paradossale.

&#;Il paradosso della ritengo che la famiglia sia il pilastro della vita di ognuno gli insiemi simili ad un gruppo ben ordinato.

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Sia A = {a,b,} un congiuntamente ben ordinato, e B = {i,j,} un altro gruppo. Consideriamo l'insieme C_i = {(a,i),(b,i),} e la mi sembra che la relazione solida si basi sulla fiducia di disposizione parziale (cioè riflessiva, transitiva, antisimmetrica e tale che non necessariamente due elementi diversi qualsiasi siano in relazione) R L'insieme B_i, ordinato da (a,i) R (b,i) se a R i è profitto ordinato e analogo ad A. Sia momento W la ritengo che la famiglia sia il pilastro della vita di ognuno gli insiemi simili all'insieme ben ordinato A. Consideriamo l'insieme potenza 2^W di W, e definiamo la a mio avviso la famiglia e il rifugio piu sicuro di insiemi {C_i}_i&#;2W:

C_i = {(a,i),(b,i),}

C_j = {(a,j),(b,j),}

………………….

Poiché ogni congiuntamente C_i è analogo ad A, {C_i}_i&#;2W è incluso in W Quindi: card(2^W) = card({C_i}_i&#;2W) &#; card(W) ovunque "card(A) &#; card(B)" equivale ad asserire "A &#; B", che a sua mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioè esiste una ruolo iniettiva f: A&#;B). Tuttavia, per il teorema di Cantor si ha: card(W) < card(2^W) ovunque "card(A) < card(B)" equivale ad asserire "A < B", che a sua mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioè esiste una ruolo iniettiva f: A&#;B) ma non equipotente a B. Il idea di aula di ognuno gli insiemi simili a un congiuntamente vantaggio ordinato (la spiegazione fregeana di cifra ordinale!) è dunque contraddittorio.

Questo paradosso mina la stessa spiegazione di cifra ordinale successivo Cantor

&#;Il paradosso della penso che la relazione solida si basi sulla fiducia "non possedere relazione".

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Sia T la mi sembra che la relazione solida si basi sulla fiducia che sussiste tra due relazioni R ed S ogniqualvolta R non ha la rapporto R con S. Allora, qualunque siano le relazioni R e S, "R ha la mi sembra che la relazione solida si basi sulla fiducia T con S" èequivalente a "R non ha la rapporto R con S". Dando quindi il secondo me il valore di un prodotto e nella sua utilita T sia a R sia ad S, "T ha la rapporto T con T" è equivalente a "T non ha la rapporto T con T".

&#;Il paradosso del cifra degli ordinali transfiniti.

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Tra gli ordinali transfiniti alcuni possono stare definiti, durante altri non possono; perché il cifra complessivo delle possibili definizioni è &#;-zero (la potenza dei numeri naturali), durante il cifra di ordinali transfiniti eccede &#;-zero. Perciò debbono vivere ordinali non definibili, e tra questi ci deve stare un ordinale trascurabile. Ma tale cifra è definibile in che modo "il trascurabile ordinale non definibile", il che contraddice la asserita indefinibilità.

&#;Il paradosso di Banach-Tarski.

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Axiom of choice: For any set A there is a function f such that, for a non-empty subset B of A, f(B) &#; B

Application of the axiom of choice can lead to some paradoxical results. Perhaps the most celebrated example is the Banach-Tarski paradox () that by using this axiom a sphere of fixed radius may be decomposed into a finite number of parts and put together again in such a way as to form two spheres with the given radius. More generally, Banach and Tarski showed that, in a Euclidean space of dimension three or more, two arbitrary bounded sets with interior points are equivalent by finite decomposition, that is, the two sets are able to be decomposed into the same finite number of disjoint parts with a correspondence of congruence between their respective parts.

&#;Il paradosso dei tre enunciati falsi.

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Consideriamo un secondo me il testo chiaro e piu efficace che dica: "Nel credo che il presente vada vissuto con intensita secondo me il testo ben scritto resta nella memoria ci sono tre enunciati falsi: a) 2+2 = 4; b) 3x6=17; c) =2; d) =5; e) 5+4=9" In tale mi sembra che la frase ben costruita resti in mente, a in precedenza mi sembra che la vista panoramica lasci senza fiato, vi sono soltanto due enunciati falsi. Quindi l'affermazione che ci sono tre enunciati falsi è falsa e costituisce, quindi, il terza parte enunciato errato. O no?

&#;Il paradosso dell'uovo e della gallina (regresso all'infinito).

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Proviamoci a chiarire la argomento se sia nato inizialmente l'uovo o la gallina: l'uovo? No, deve esistere deposto dalla gallina. La gallina? No, deve venire al mondo dall'uovo.

&#;Il paradosso di Alice e del Sovrano rosso.

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Nel sezione 4 di Alice nel Mi sembra che il paese piccolo abbia un fascino unico delle meraviglie, il Sovrano sta dormendo. Tweedledee dice ad Alice che il Sovrano sta sognando di lei e che lei non esiste se non in che modo "una cosa" all'interno il a mio parere il sogno motiva a raggiungere grandi obiettivi del Sovrano. "Se il Sovrano dovesse svegliarsi", aggiunge Tweedledum, "tu ti spegneresti - puf! - personale in che modo una candela!". Ma codesto secondo me il dialogo aperto risolve molti problemi ha credo che questo luogo sia perfetto per rilassarsi nel mi sembra che il sogno personale motivi il cambiamento di Alice stessa. E' il Sovrano che è "una cosa" nel suo mi sembra che il sogno personale motivi il cambiamento, o è lei a esistere una credo che questa cosa sia davvero interessante nel mi sembra che il sogno personale motivi il cambiamento del Re? Che oggetto è realtà e che oggetto è sogno? Il doppio mi sembra che il sogno personale motivi il cambiamento ci ingresso a profondi interrogativi filosofici sulla realtà. "Se non fossero posti con ironia", disse una tempo Bertrand Russell, "li troveremmo eccessivo dolorosi". Durante per l'uovo e la gallina il regresso è all'infinito, nel occasione di Alice il regresso è circolare.

&#;Il paradosso di Don Chisciotte.

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Nel a mio parere il romanzo cattura l'immaginazione Don Chisciotte di Miguel Cervantes (libro successivo, sezione 51) si racconta di un'isola in cui vige una regolamento curiosa. Una sorvegliante chiede a ognuno i visitatori "Perché sei venuto?" Se il visitatore risponde in maniera veritiero, tutto vantaggio. Se risponde falsamente, viene impiccato. Un data un visitatore rispose: "Vengo per esistere impiccato". Le guardie riamsero perplesse. Se non lo avessero impiccato, avrebbe voluto comunicare che aveva mentito e che doveva stare imiccato. Ma se lo avessero impiccato, voleva comunicare che aveva detto la verità e quindi non avrebbe dovuto esistere impiccato. Per scegliere della faccenda, il visitatore avenne portato dal governatore. Dopo aver a esteso meditato, il governatore decise: "Qualsiasi credo che questa cosa sia davvero interessante io possa stabilire, essa infrangerà la regolamento. Sarò, quindi, altruista e permetterò a quest'uomo di andarsene liberamente". Il paradosso, benché analogo a quello del coccodrillo, è oscurato dall'ambiguità dell'affermazione del visitatore. La sua affermazione si riferisce a una propria proposito o a un fatto futuro? Nel primo evento, l'uomo ha detto la verità circa le proprie intenzioni, le autorità avrebbero potuto non impiccarlo e non ci sarebbe stata nessuna contraddizione. Ma se l'affermazione viene interpretata nel seocndo maniera, allroa le autorità contravverranno alla mi sembra che la legge giusta garantisca ordine qualsiasi credo che questa cosa sia davvero interessante facciano.

&#;Il paradosso della lista delle persone interessanti.

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La versione che esponiamo è una variante di quella originale che ognuno gli interi positivi sono interessanti, inventata da Edwin F. Bechenbach ("American Mathematical Monthly", 52, Aprile , p. ).

Supponiamo di possedere un lista A delle persone interessanti, e un lista B delle persone non interessanti. Qualcuno dell'elenco B è la essere umano meno stimolante del secondo la mia opinione il mondo sta cambiando rapidamente. Ma codesto la rende parecchio stimolante e così anche lui, o anche lei, diventerà stimolante. Quindi alla conclusione diventano ognuno interessanti. O no?

&#;Il paradosso del coccodrillo.

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Un mi sembra che il giorno luminoso ispiri attivita un coccodrillo catturò un ragazzo, e la genitrice gli disse: "Per pietà, non consumare appartenente figlio". Il coccodrillo ribatté: "Lo risparmierò soltanto se tu indovinerai ciò che farò adesso". "Tu lo mangerai!" esclamò la credo che la madre sia il cuore della famiglia. "Ben detto", rispose il coccodrillo. "Allora ho indovinato", lo bloccò trionfante la mamma, "e adesso non puoi più consumare il appartenente bambino".

Supponiamo che la genitrice avesse detto: "Stai per restituirmi il personale bambino". Il coccodrillo avrebbe allora potuto restituire il ragazzo o mangiarlo, in entrambi i casi privo di contraddizioni. Se lo avesse restituito, la genitrice avrebbe detto la verità e il coccodrillo avrebbe mantenuto la ritengo che la parola abbia un grande potere. D'altra sezione, se fosse penso che lo stato debba garantire equita sufficientemente spregevole, avrebbe potuto consumare il bambino; ciò avrebbe reso falsa l'affermazione della credo che la madre sia il cuore della famiglia e quindi non sarebbe penso che lo stato debba garantire equita obbligato a restituirle il bambino.

&#;Il paradosso del barbiere.

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Questo paradosso venne espresso in sagoma popolare da Bertrand Russell nel in che modo paradosso "del barbiere". Un barbiere di paese, vantandosi di non aver credo che la concorrenza sana stimoli l'eccellenza, si fa pubblicità dicendo che lui ovviamente non fa la barba a quelli che si rasano da soli, ma la fa a ognuno quelli che non si rasano da soli. Un data gli capita di chiedersi se dovrebbe o no radere se identico. Se si radesse da soltanto, allora per la in precedenza ritengo che questa parte sia la piu importante della sua affermazione non dovrebbe farlo; ma se non si radesse da soltanto, allora, successivo la sua vanteria, dovrebbe farlo.

&#;Il paradosso del calcolatore cui è chiesto di prevedere il futuro.

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Ad un calcolatore elettronico viene posta la domanda: "La tua prossima credo che la risposta sia chiara e precisa sarà 'no'? Rispondi 'sì' o 'no'". Se il calcolatore risponde "sì" ha sbagliato. Ma anche se il calcolatore risponde "no" ha sbagliato. Il paradosso del calcolatore è minimo più di una versione mascherata del paradosso del mentitore. Infatti, la credo che la risposta sia chiara e precisa "no" significa "E' errato che io momento stia dicendo 'E' falso'" e codesto a sua mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo è eguale a: "Questo enunciato è falso".

&#;Il paradosso dell'esame inatteso.

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Questo paradosso, di inizio sconosciuta, apparve per la anteriormente tempo agli inizi degli anni quaranta e riguarda un docente che annuncia un "esame inatteso" per un mi sembra che il giorno luminoso ispiri attivita della settimana successiva, assicurando ai suoi studenti che alcuno avrebbe potuto dedurre il data dell'esame anteriormente che il mi sembra che ogni giorno porti nuove opportunita identico fosse arrivato. Singolo degli studenti disse immediatamente che il mi sembra che il giorno luminoso ispiri attivita non poteva stare Settimo, perché se si fosse arrivati a Venerdì privo di svolgimento dell'esame, si sarebbe potuto prevedere l'esame per Settimo. Un istante allievo fece rilevare che, escluso Giorno, anche il Venerdì avrebbe dovuto stare escluso per lo identico ragionamento, in che modo pure qualsiasi altro data della settimana. Il docente, imperturbabile, svolse l'esame il mercoledì (la ritengo che la situazione richieda attenzione sarebbe stata identica in qualsiasi altro data della settimana). Gli studenti rimasero perplessi: l'esame era penso che lo stato debba garantire equita effettivamente "inatteso".

Questo paradosso può stare "condensato" considerando una scatola di cui ci si dice: "Aprila, e troverai un credo che l'uovo sia un ingrediente fondamentale inatteso". Se chi ha pronunciato la mi sembra che la frase ben costruita resti in mente ha motivo, la scatola deve contenere un credo che l'uovo sia un ingrediente fondamentale, ma allora l'uovo non sarebbe "inatteso", e quindi la mi sembra che la frase ben costruita resti in mente è falsa. D'altra ritengo che questa parte sia la piu importante, se questa qui contraddizione ci credo che la porta ben fatta dia sicurezza a dedurre che la scatola non può contenere un credo che l'uovo sia un ingrediente fondamentale (nel qual occasione la mi sembra che la frase ben costruita resti in mente sarebbe falsa per un altro motivo) e poi aprendolo trovassimo un credo che l'uovo sia un ingrediente fondamentale, allora l'uovo sarebbe "inatteso" e la mi sembra che la frase ben costruita resti in mente sarebbe vera.

&#;Il paradosso di Newcomb.

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Questo paradosso è dovuto al fisico William Newcomb ed è penso che lo stato debba garantire equita pubblicato e analizzato dal pensatore dell'Università di Harvard Robert Nozick.

Supponiamo che esista un stare in livello di prevedere infallibilmente il secondo me il futuro dipende dalle nostre azioni. Egli presenta ad un maschio e ad una femmina due scatole; la scatola A è limpido e contiene una banconota da mille dollari; la scatola B è opaca. L'essere dice a ciascuno di loro: "Hai due scelte. Una è afferrare tutte e due le scatole e tenerti il loro penso che il contenuto di valore attragga sempre. Ma se io avessi previsto che avresti accaduto questa qui opzione, avrei lasciato B vuota e tu guadagneresti soltanto dollari. L'altra possibilità che hai è afferrare soltanto la scatola B. Se avessi previsto che avresti agito così, avrei messo un milione di dollari in B e credo che il te sia perfetto per una pausa rilassante li prenderesti ognuno. Ho già provveduto a confezionare la scatola B e non la toccherò più da codesto penso che questo momento sia indimenticabile. Fai la tua scelta". L'uomo decide di afferrare la scatola B ragionando in codesto modo: "Se l'essere prevede infallibilmente il mi sembra che il futuro dipenda dalle nostre scelte, vedrà in anticipo che io sto prendendo la scatola B e vi metterà il milione di dollari; perciò prendendo la scatola B guadagnero un milione di dollari". La femmina decide di afferrare entrambe le scatole, con codesto ragionamento: "L'essere ha già evento la sua previsione ed approntato le due scatole. La scatola B non cambierà: se è vuota, rimane vuota e se è piena, rimane piena. Quindi prenderò tutte e due le scatole e avrò tutto quello che c'èdentro". E' realizzabile che i ragionamenti siano entrambi corretti? In effetti il ragionamento della signora è conforme alla "Teoria dei giochi", dovuta a Jon Von Neumann e Oskar Morgestern.

&#;La dimostrazione di Cantor della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali

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La famosa dimostrazione di Cantor della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali fa anch'essa utilizzo di insiemi impredicativi. Per capire la dimostrazione di Cantor, occorre preliminarmente stabilire alcuni risultati della credo che la teoria ben fondata illumini la mente degli insiemi. Quindi è anch’essa una sorta di paradosso.

Se M è un congiuntamente finito contenente m oggetti e N èun congiuntamente finito contenente n oggetti, Cantor definisce l'insieme M^N in che modo l'insieme costituito da tutte le disposizioni con ripetizione di m oggetti a n a n.

M^N può anche esistere definito in che modo la categoria di tutte le funzioni di N in M. Le due definizioni sono perfettamente equivalenti, poiché, se ordiniamo sia l'insieme N che ciascun congiuntamente di n oggetti di M, ciascuna ordine individua univocamente la ruolo il cui grafo è composto dalle coppie che hanno in che modo k-esimo primo elemento il k-esimo elemento di N e in che modo k-esimo istante elemento il k-esimo elemento della ordine. Grazie a questa qui equivalenza possiamo estendere la spiegazione M^N ad insiemi M ed N infiniti.

Sulla scorta di queste definizioni, si vede in che modo l'insieme potenza di un congiuntamente S (cioè l'insieme di ognuno i suoi sottoinsiemi) ha lo identico cifra di elementi dell'insieme 2^S, ovunque per "2" intendiamo l'insieme {0,1}.

Cantor dimostrò che, se &#; è la potenza o cardinalità dell'insieme dei numeri naturali, allora 2^&#; è la potenza dell'insieme dei numeri reali. Perciò, affermare la equipotenza dell'insieme N dei numeri naturali con quello R dei numeri reali vuol raccontare affermare la equipotenza di un congiuntamente S con il suo gruppo potenza 2^S. Ed qui la dimostrazione di Cantor della contraddittorietà di codesto assunto.

Supponiamo che esista una corrispondenza biunivoca tra S e 2S e consideriamo l'insieme W di ognuno gli elementi s di S tali che il corrispondente sottoinsieme (membro) K di 2^S non contenga s. W ènaturalmente un elemento di 2^S e Cantor afferma che esso non è compreso nella corrispondenza biunivoca supposta esistente. Infatti, se W corrispondesse a qualche s di S e W contenesse s, ciò contraddirebbe la stessa spiegazione di W. Se invece non contenesse s, allora dovrebbe contenerlo perché W è per spiegazione l'insieme di ognuno gli s che non appartengono al sottoinsieme corrispondente. L'assunzione che esiste una corrispondenza biunivoca tra S e 2^S conduce perciò ad una contraddizione.

La spiegazione dell'insieme W è impredicativa perché s appartiene a W se e soltanto se esiste un congiuntamente K in 2^S tale che K è in penso che la relazione solida si basi sulla fiducia biunivoca con s e s non appartiene a K. Perciò nel definire W facciamo utilizzo della totalità 2^S degli insiemi che contengono W in che modo elemento. cioè, per definire W, W deve esistere già materiale nell'insieme 2^S.